Racionalización

¿Por qué racionalizamos fracciones con raíces?

Nivel sugerido: Secundaria – primeros ciclos de pregrado

Idea clave: racionalizar es transformar una fracción para eliminar raíces del denominador sin cambiar su valor. Esto vuelve la expresión más clara, facilita comparaciones y operaciones (sumar, restar, multiplicar) y refuerza propiedades del álgebra como el uso de conjugados y potencias.

Contexto didáctico

Históricamente, los matemáticos descubrieron números que no podían escribirse como fracción de enteros (por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 es \(\sqrt{2}\)). Para trabajar con ellos de forma ordenada, se adoptó la costumbre de escribir las fracciones con un denominador racional. En clase, esta práctica ayuda a consolidar el manejo de radicales, potencias y productos notables.

Qué significa “equivalente”

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo valor. Al racionalizar, multiplicamos por 1 escrito como un cociente conveniente. Ejemplo básico:

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

El valor no cambia, pero el denominador ahora es un número racional (\(2\)).

Casos típicos con ejemplos

1) Una sola raíz en el denominador

\[\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a},\quad a>0.\]

2) Raíz n-ésima en el denominador

Multiplicamos por la potencia necesaria para “completar” el exponente:

\[\frac{1}{\sqrt[n]{a}}\cdot\frac{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}}{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}} = \frac{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}}{a},\quad a>0,\ n\in\mathbb{N}.\]

3) Binomio con radicales (uso del conjugado)

Si el denominador es una suma o resta con raíces, usamos el conjugado:

\[\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b},\quad a\ne b.\]

4) Número y raíz juntos

\[\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}.\]

5) Varios términos con radicales

En expresiones como \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\), a veces conviene racionalizar de manera escalonada o aplicar conjugados “por partes”. La estrategia depende de la estructura de la expresión.

¿Para qué nos sirve en la práctica?

• Comparar y operar fracciones con más comodidad.
• Presentar resultados en forma estándar (denominadores racionales).
• Fortalecer técnicas de álgebra: conjugados, leyes de los radicales y potencias.

Sumar es más claro si racionalizamos antes: \[\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \;=\; \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Consejos para el aula

• Recalcar que no cambiamos el valor, solo la forma: multiplicamos por 1 “inteligente”.
• Practicar primero con raíces cuadradas y luego generalizar a raíces \(n\)-ésimas.
• Resaltar el patrón del conjugado: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\).
• Verificar siempre que el resultado final no tenga raíces en el denominador.

Preparado para pegar en Blogger. Si no ves las fórmulas, asegúrate de que este bloque incluya los scripts de MathJax y que el editor esté en modo HTML.

Resolución de sistemas de ecuaciones 3x3 con Wolfram Alpha

 

La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales con un número arbitrario de incógnitas. Esta regla es válida si el sistema tiene una solución única, si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. 

Con ayuda de aplicaciones como WolframAlpha se puede resolver un sistema de 3x3 utilizando esta regla. Por ejemplo, para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Se debe activar la opción de entrada matemática

Y luego ingresar los datos de la siguiente manera.

Ver la resolución en WolframAlpha

Ventajas de estudiar matemáticas para el futuro

¿Qué ventajas tiene estudiar matemáticas para el futuro?, muchas veces nos hacemos esta pregunta y más allá del éxito personal y profesional que se logre, es innegable la importante de aprender conceptos matemáticos para el futuro. Si se enseña bien, se logrará comprender, creo que esto es el punto de partida. A continuación 6 ventajas de estudiar matemáticas para el futuro (Romero, 2021).

1. Desarrolla la habilidad de resolución de problemas
2. Comprensión de conceptos abstractos
3. Aumenta la creatividad en la búsqueda de soluciones
4. Se desarrolla la capacidad crítica de la persona
5. Se fortalece la tan ansiada resiliencia
6. Aprenden a trabajar en equipo

Referencias:

Romero, M. (2021, 11 nov ). 6 razones por las que estudiar matemáticas tiene sus ventajas en el futuro. Hola.com [Blog]. https://www.hola.com/padres/galeria/20211127306347/estudiar-matematicas-para-futuro-laboral/1/?fbclid=IwAR1533AhZH_QahK8LSf2E2r62l0Z76UX7nieWJ80ZZN2qnCEH5GlymLr728&viewas=amp 

De la Osa, A. (2014 ,29 enero).  La importancia de las matemáticas en la vida. https://www.smartick.es/blog/padres-y-profesores/educacion/importancia-de-las-matematicas/

Chat GPT 3.5 aun no está preparada para resolver problemas matemáticos

 

Estaba trabajando el tema de ecuaciones indeterminadas y se me ocurrió consultar la solución de un problema al Chat GPT 3.5 (Figura 1)

Figura 1. preguntando a Chat GPT 3.5

Y la inteligencia artificial me dio como respuesta un modelo matemático utilizando inecuaciones, luego me propuso utilizar el tanteo para dar finalmente con la respuesta (figura 2).

Figura 2. primera parte de la respuesta al problema, según Chat GPT 3.5

Finalmente, después de que la misma inteligencia artificial hizo el tanteo llegó a la siguiente conclusión (figura 3):

Figura 3. parte final de la respuesta al problema, según Chat GPT 3.5

Después de verificar la respuesta de la inteligencia artificial, me di con la sorpresa de que no era una respuesta acertada, puesto que si comprase 11 bolígrafos a 6€ cada uno gastaría 66€ y me sobrarían 73€. Por lo que esto no responde a la pregunta: ¿Cuántos bolígrafos y cuadernos podremos comprar sin que nos sobre ningún Euro?. A lo que, volví a repreguntar (figura 4).

Figura 4. Repregunta a Chat GPT 3.5

Para lo cual, la "inteligencia" artificial responde primero con una disculpa y luego sigue proponiendo una resolución por tanteo, llegando a la conclusión de que no es posible realizar la compra propuesta (figura 5).

Figura 5. parte final de la respuesta a la repregunta, según Chat GPT 3.5

Pero en realidad, la "inteligencia" artificial ya tenía una de las respuestas, el problema fue que no realizó correctamente el cálculo, el cual debió ser: 3(6) + 11(11) = 139 euros.

Esta experiencia me motivó a escribir la presente entrada para concientizar a los usuarios y tener cuidado al momento de recurrir a la inteligencia artificial para resolver problemas matemáticos.

Yupana, la calculadora Inca

Yupana, derivada del quechua yupay (contar) y con el quipu son considerados instrumentos de cálculo de la cultura incaica, que territorialmente comprendía gran parte de Perú, Ecuador y una porción de Colombia.

Con la yupana se realizaban las operaciones y con el quipu se almacenaban las cuentas.

A continuación se presenta una propuesta interactiva del uso de la yupana con ayuda de Scratch.

https://scratch.mit.edu/projects/639791227/

Representar, analizar y resolver ecuaciones con WolframAlpha

WolframAlpha es un buscador online que trabaja con inteligencia artificial generando respuestas estructuradas a las preguntas de los usuarios.

En el caso de ingresar ecuaciones, WolframAlpha puede representarlas gráficamente, analizarlas y resolverlas.

https://es.wolframalpha.com/input?i=2x%5E2-5x-3%3D0&lang=es

Editor de ecuaciones en línea

Existe una diversidad de editores de ecuaciones en línea para poder digitar expresiones matemáticas. Entre ellos se encuentra Codecogs que da opciones a partir del código LaTex, cómo:

• Descarga como imagen en formatos: SVG, gif, png, pdf
• Obtener el código html de la imágen de la fórmula
• Integración con hojas de cálculo a partir de funciones tipo imágen

Enlace: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php