Racionalización

¿Por qué racionalizamos fracciones con raíces?

Nivel sugerido: Secundaria – primeros ciclos de pregrado

Idea clave: racionalizar es transformar una fracción para eliminar raíces del denominador sin cambiar su valor. Esto vuelve la expresión más clara, facilita comparaciones y operaciones (sumar, restar, multiplicar) y refuerza propiedades del álgebra como el uso de conjugados y potencias.

Contexto didáctico

Históricamente, los matemáticos descubrieron números que no podían escribirse como fracción de enteros (por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 es \(\sqrt{2}\)). Para trabajar con ellos de forma ordenada, se adoptó la costumbre de escribir las fracciones con un denominador racional. En clase, esta práctica ayuda a consolidar el manejo de radicales, potencias y productos notables.

Qué significa “equivalente”

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo valor. Al racionalizar, multiplicamos por 1 escrito como un cociente conveniente. Ejemplo básico:

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

El valor no cambia, pero el denominador ahora es un número racional (\(2\)).

Casos típicos con ejemplos

1) Una sola raíz en el denominador

\[\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a},\quad a>0.\]

2) Raíz n-ésima en el denominador

Multiplicamos por la potencia necesaria para “completar” el exponente:

\[\frac{1}{\sqrt[n]{a}}\cdot\frac{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}}{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}} = \frac{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}}{a},\quad a>0,\ n\in\mathbb{N}.\]

3) Binomio con radicales (uso del conjugado)

Si el denominador es una suma o resta con raíces, usamos el conjugado:

\[\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b},\quad a\ne b.\]

4) Número y raíz juntos

\[\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}.\]

5) Varios términos con radicales

En expresiones como \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\), a veces conviene racionalizar de manera escalonada o aplicar conjugados “por partes”. La estrategia depende de la estructura de la expresión.

¿Para qué nos sirve en la práctica?

• Comparar y operar fracciones con más comodidad.
• Presentar resultados en forma estándar (denominadores racionales).
• Fortalecer técnicas de álgebra: conjugados, leyes de los radicales y potencias.

Sumar es más claro si racionalizamos antes: \[\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \;=\; \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Consejos para el aula

• Recalcar que no cambiamos el valor, solo la forma: multiplicamos por 1 “inteligente”.
• Practicar primero con raíces cuadradas y luego generalizar a raíces \(n\)-ésimas.
• Resaltar el patrón del conjugado: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\).
• Verificar siempre que el resultado final no tenga raíces en el denominador.

Preparado para pegar en Blogger. Si no ves las fórmulas, asegúrate de que este bloque incluya los scripts de MathJax y que el editor esté en modo HTML.